miércoles, 18 de enero de 2012

Maurits Cornelis Escher





Introducción

M. C. Escher siempre fue, aparte de un gran artista, un gran científico que aunque eludía el trasfondo matemático de sus complejos dibujos, concretaba mejor que nadie la estructura abstracta de la geometría y del espacio. Su obra es un amor desmesurado por el detalle, es representar una realidad interrelacionada desde sus distintos ámbitos y espacios, es la cohesión de elementos de naturaleza matemática con elementos prácticos cotidianos, de elementos geométricos con transformaciones complejas, es la representación de las figuras que giran, que crecen, que se trasladan, que transforman su textura, que pasan de ser planas a espaciales, formas imposibles; un estudio inmejorable del espacio, de la perspectiva y de su complejidad representada de una forma gráfica, intuitiva y directa, asequible a todo el mundo interesado en el mundo del arte, del dibujo y de la ciencia.
Contexto
Nacido en 1898 en los Países Bajos, en Leeuwarden, su padre era ingeniero hidráulico. A Escher no le gustaba mucho la escuela, la única materia que le gustaba era el dibujo. Desde joven empezó a hacer grabados sobre linóleo. Tras repetir curso en la escuela dos veces no logró obtener el título oficial, ni siquiera en la escuela de arte donde estudió tenía buenas notas, pese hacer buenos dibujos. El padre quería que fuese arquitecto, pues era consciente del gran talento y de las capacidades espaciales de su hijo, así que en el año 1919 comenzó a estudiar arquitectura y artes decorativas en Harlem, pero no tardaría mucho en dejar estos estudios. Un profesor de origen portugués que enseñaba en la escuela de arquitectura le aconsejó que estudiara arte decorativo, a lo que el padre accedió con ciertos reparos. Éste profesor se convirtió en su principal maestro. En esta etapa el artista empezó a  hacer varios grabados en madera y empezó a trabajar con gran dedicación. Dos años después salió de la escuela de arte con unos conocimientos elementales de dibujo y dominando la técnica del grabado. En el año 1922 viajó con dos amigos holandeses a Italia y en breve período de tiempo a España desde el que viajó desde Cádiz hasta Génova. Por esta época hizo numerosos grabados en madera con variedad de paisajes italianos. A continuación viajó hacia el sur de Italia y pudo conocer ornamentos arquitectónicos romanos, griegos y sarracenos, elementos que le gustaron especialmente.
En la pensión había conocido a la que sería posteriormente su mujer, casándose con ella en 1924, a continuación y hasta el año 1935 Escher vivió en Italia recorriendo Sicilia, Córcega, Malta, lugares que le sirvieron de gran inspiración. Se dedicará por esa época a dibujar con sus amigos espacios arquitectónicos de los lugares que visitaron. Italia sirvió de gran expiración por lo que se pasó gran tiempo dibujando por las montañas durante días enteros, casi todo le servía de inspiración.
Hasta el año 1931 era bastante desconocido, había hecho un par de exposiciones y alguna ilustración en dos o tres libros, aunque apenas vendía ninguna otra. Los gastos los costeaban sus padres, pero no fue hasta el año 1951 cuando empezó a vender numerosos grabados, adquiriendo en el año 1954 gran reputación al llegar a vender 338 grabados, curiosamente no eran sus paisajes y escenas urbanas las que llaman la atención del público sino la representación del mundo geométrico que tanto le fascinaba.
Curiosamente al padre nunca le agradó la obra de su hijo, de hecho pese a tener una gran relación con éste, apenas tenía colgada alguna obra suya en su casa. En el año 1935, el clima político de Italia era muy inestable y cuando vio que el hijo de Escher era obligado a desfilar con uniforme correspondiente al movimiento fascista en el colegio italiano decidió emigrar con su familia a Suiza, sitio que aborreció por la nieve, el paisaje blanco no le inspirada nada para dibujar, veía rocas sin historia, la arquitectura era limpia, sin fantasía, era la antítesis de Italia. Cuando estuvo en Suiza permaneció aislado y desmotivado, en ese momento fue cuando decidió viajar a España, estudiando en la Alhambra de Granada los curiosos ornamentos de los que sacó muchos bocetos, después visitó Cartagena y luego a Bruselas en el año 1937.
A principios del año 1941 se mudó a Holanda donde trabajó con ímpetu en numerosos dibujos, a continuación hizo algunos cruceros por el Mediterráneo hasta que tuvieron que operarlo en el año 1962, que fue cuando interrumpió el trabajo. En el año 1970 se traslada al norte de Holanda, lugar en el que falleció dos años más tarde.
Análisis del trabajo del artista
Tenemos una primera fase de Escher que es esencialmente paisajista, dibuja también por esta etapa retratos muy expresivos, era ya un virtuoso de la técnica del grabado y muy observador para los detalles. Pero no fue hasta el año 1937 cuando empieza a trabajar en algo excepcional, las estructuras matemáticas, las transformaciones geométricas, la continuidad y el infinito son obsesiones en casi todas sus obras a partir de este momento. Se convirtió en el dibujante que admiraban los matemáticos, por suerte no le afectaba la crítica muchas veces desfavorable, ni siquiera las ventas tan escasas suponían decaimiento en el caudal de su obra. Siempre dicen de él que representaba la complejidad del espacio mediante imágenes, pero que no le interesaba expresarlo con palabras ni entender el fundamento matemático de lo que expresaba, de ahí que lo que se expresa en su obra tenga un alto grado intelectual y un grado  mínimo literario. Pero los dibujos de Escher no requieren apenas explicación, la gran calidad de los dibujos no requieren un texto, más bien al contrario, son los tratados de matemáticas y de geometría los que pueden ayudar a ser más asequibles gracias a las imágenes del dibujante.
Obras: hay unas estampas paisajistas trabajadas antes del año 1937, previas a la ejecución de dibujos de carácter matemático, pronto en algún caso serán repeticiones de elementos geométricos que se transforman y otras veces trabajos  hechos exclusivamente por encargo.
La obra del artista se puede estructurar en tres épocas distintas, a saber, la estructura del espacio, la estructura de la superficie, y la proyección del espacio tridimensional en la superficie plana.
Primero- la estructura del espacio, sobretodo en la obra anterior a 1937, hay un predominio por la estructura frente a lo pintoresco, es a partir del año 1967 cuando deja de tratar la estructura del espacio de forma analítica, en esta fase se pueden diferenciar tres tipos de cuadros: los paisajes, los mundos extraños que se compenetran de forma mutua y el dibujo de los cuerpos matemáticos.
Segundo- La estructura de las superficies. Tras la visita de la Alhambra de Granada se interesó por la partición regular de las superficies, elementos de los que hizo un estudio muy intenso debido a su falta de cualificación matemática. Inventó un método para hacer particiones regulares en superficies planas, método que causaría gran admiración entre los matemáticos. Aunque no existen cuadros con este tema exclusivo sino bocetos, sí hace un uso continuo de estas particiones en sus trabajos sobre las metamorfosis, estructuras en las que las formas geométricas básicas se deforman y transforman hasta convertirse en elementos orgánicos como plantas y animales, también en los ejercicios de dibujo en los que los elementos pasan de una forma inicial a una transformación y revierten posteriormente a la forma inicial. En estos dibujos de ciclos se hace una partición regular de la superficie y partiendo de unos elementos que se transforman se vuelve a llegar a los mismos elementos al final. Hay una última aproximación al infinito en el que las cifras no parecen congruentes (se pueden superponer y son coincidentes) sino que se muestran uniformes, son dibujos de gran complejidad y difícil resolución. En esta fase podemos distinguir las distintas tipos de dibujos: dibujos de metamorfosis, dibujos de ciclos, y aproximaciones al infinito.
Tercero- en esta fase hace un estudio profundo de la perspectiva, esto es, representar algo de tres dimensiones sobre el plano, son los dibujos llamados dibujos conflicto. El estudio de las leyes de la perspectiva tan examinadas por el dibujante con espíritu crítico, transforma las leyes propiciando nuevos dibujos, de esta forma se dan tres distintos tipos de cuadros: los que tratan el problema de representación como conflicto entre el espacio la superficie, los que se ocupan exclusivamente de la perspectiva, y aquellos que representan figuras imposibles.
Hay que decir que aunque algunos autores creen en esta secuencia lógica ordenada de las distintas fases de su obra, no se puede definir perfectamente una separación entre los distintos estadios, por ejemplo a veces hace uso de obras relacionadas con el tratamiento del infinito pero al mismo tiempo aplica la transformación geométrica propia de sus trabajos de metamorfosis, otras veces recoge elementos paisajísticos y los interrelaciona con elementos geométricos produciendo también efectos de metamorfosis. La compleja perspectiva de las obras del artista, no está formada por elementos perfectamente individualizados sino que todas las características de su obra aparecen comúnmente en fases distintas, de lo que se puede deducir que gran multiplicidad de detalles en sus obras pertenecen a momentos diferentes de la historia del artista.


Compenetración de dos mundos


En este grabado podemos observar tres esferas con distintos materiales, a la izquierda una esfera de cristal muestra la refracción y reflexión del espacio circundante, así como la concentración de la luz sobre el soporte en el que se apoya generando una focalización de la misma llamada efecto cáustico. En la esfera del centro observamos una superficie reflectante análoga a la que corresponde a una superficie cromada, la imagen reflejada transforma el espacio por medio de la inversión de los elementos y lo hace mediante un gran ángulo óptico, tanto que permite reflejar las dos esferas sobre la misma. En la esfera de la derecha aparece un cuerpo opaco con su sombra propia y arrojada y una tonalidad difusa. Los degradados de las superficies están perfectamente cuidados, y hacen apreciar la textura y la calidad del dibujo de una forma sorprendente.

En el grabado sobre linóleo de 1950 titulado “Ondulaciones en el agua”, se refleja un árbol deshojado sobre el agua, aparecen además las huellas de unas gotas de lluvia que generan círculos concéntricos sobre el agua reflejando las ramas del árbol como sinusoides.
Las ondas concéntricas aparecen en la perspectiva como elipses de idéntica excentricidad, las que corresponden a circunferencias concéntricas observadas en una perspectiva.

En el grabado podemos observar tres espacios diferentes, el que corresponde al barro sobre el que hay el charco, los árboles y el paisaje refjejado y el charco que refleja los árboles. Es uno de los temas principales de Escher, interrelacionar distintos espacios haciendo que todos formen una entidad cohesionada.

En esta litografía de 1955 titulada “Tres mundos”, muestra tres partes distintas en la imagen de una forma interrelacionada. En esta litografía el pez se puede ver gracias a que no está en la zona de máxima reflexión, que corresponde a la parte superior del dibujo. Si el pez estuviera más alejado, esto es, mas cerca de las reflexiones de los árboles, ya no se podría ver aunque tuviera un tamaño mayor pues en ese plano de la perspectiva aparece la reflexión del paisaje con mayor fuerza por la luz, lo que impide ver el interior del lago.

“Mano con esfera reflectante”, litografía del año 1935. En esta imagen Escher sostiene no sólo la esfera reflectante sino todo lo que aparece en ella reflejado. El centro de la esfera coincide con el ojo que la observa y la distorsión de los elementos es mayor según se aleja del  centro.
Hay que resaltar el dominio técnico del grabado, la textura de la piel, la calidad suave, pulimentada y reflectante de la esfera, un virtuosismo técnico de Escher como grabador.



En el grabado de “Gotas de rocío”, hecho a mediatinta en el año 1948 aparecen tres mundos distintos, la textura de la hoja de la planta, el reflejo del entorno que aparece sobre la gota de agua y el detalle amplificado del interior de la hoja, aquí no es necesario ningún espejo, la naturaleza nos da todas las herramientas para entender los tres universos distintos que aparecen en la hoja.

En esta obra titulada “Galería de grabados”  hace una ampliación de forma anular. Por el borde inferior derecho se puede ver la entrada en una galería en la que están expuestos unos cuadros mientras que en el lado opuesto vemos a un chico contemplando uno de los cuadros de la galería. Hay una contradicción manifiesta en el grabado pues el chico que mira un cuadro está él mismo dentro del cuadro en la galería. Es un espacio sin principio ni fin, éste tipo de transformación exige una construcción de los elementos mediante líneas curvas, es la forma de representar un espacio que se vuelve a su interior. Para generar esta transformación lo que hace es producir un efecto de espiral en el centro del dibujo, un remolino cuyos brazos giran en el sentido contrario a los brazos de una espiral común. Es una perspectiva deformada en la que la casa donde hay una exposición se mete dentro del cuadro de la exposición. Dos matemáticos notables como el profesor Dantzig y su compañero, hablaban de este espacio como el que corresponde a una geometría de curvatura positiva de Riemann. En todo caso lo que se trataba de representar en él  no era una superficie que se infla sino un espacio  sin principio ni fin, por lo que tiene que penetrarse a sí misma.

“Arriba y abajo” es una litografía del año 1947, es un juego de perspectiva que podría darse en un gran angular que fusionará dos fotos distintas, en el que se juega con la relatividad de los puntos de fuga. Nos situamos delante de la arquitectura que se presenta ante nosotros con una perspectiva curvilínea por efecto de la lejanía de los detalles, el techo de la arquitectura es el suelo de otra arquitectura que está en la parte superior. Con ello tenemos la perspectiva de una casa vista desde abajo y la perspectiva de de la casa superior vista desde arriba. Podemos observar que la casa es la misma y también las personas que están en ella, en la perspectiva de este espacio se tiene en cuenta un parámetro nuevo respecto a cualquier perspectiva sea curvilínea o lineal, y es el punto de fuga de las líneas verticales es coincidente tanto por la parte superior como por la parte inferior, de lo que se desprende que la perspectiva de la casa se podría ver con un ángulo grande de visión de las dos formas de aunque por supuesto desde puntos de vista distintos. En la geometría proyectiva se trabaja con este parámetro, las rectas paralelas tienen un único punto común en el infinito cuyo homólogo es su punto de fuga, denominado también límite o de desvanecimiento.

 
“En el balcón”, el punto medio del dibujo aparece cinco veces mayor que el resto de las arquitectura. Es como si observamos una fotografía mediante una lupa pero con la salvedad de que se enlaza con el resto de la arquitectura de una forma progresiva y uniforme. Un detalle de este incremento en la escala se puede escapar fácilmente  y es que el hecho de incrementar el centro del dibujo supone que los elementos laterales adyacentes al balcón aparecen en una escala mucho menor. El incremento del tamaño del punto central de la imagen supone la reducción de los elementos periféricos. Sobre este tema hizo una serie de grabados en las que se aprecia la deformación en distintas arquitecturas.

Esta litografía es un autorretrato del año 1943, en él se representa parte del rostro del dibujante y grabador sobre un espejo. El acabado del grabado es muy detallista, se puede percibir en él desde el vello de la barba hasta la textura y transparencia de la piel.

 
“Naturaleza muerta con esfera reflectante”, es una litografía del año 1934, en este litografía aparece reflejado todo el espacio circundante, el periódico, el libro, el pájaro, la botella, la habitación entera con sus ventanas y el artista. Una curiosidad de este espacio reflejado sobre la botella es la nitidez y claridad con la que se reflejan todos los elementos, no obstante en el fondo del grabado todo aparece en color oscuro.

Este es un “Ojo” representado a mediatinta en el año 1946, en el que se pueden observar tres espacios distintos, el de la persona que nos está mirando con su propio ojo, el detalle del interior del ojo y su anatomía, y el detalle de lo que refleja el ojo sobre su pupila y córnea, una calavera y una franja de luz  respectivamente.

En la figura podemos observar el grabado que representa unas manos que se están dibujando sí mismas, es una transformación del espacio de tres dimensiones que representan las manos en el espacio plano que representa el dibujo.

”Nudos”, es un grabado en madera del año 1965, en el grabado podemos observar a la izquierda en el borde superior un nudo con dos franjas de papel que se cortan ortogonalmente mientras que a la derecha tenemos el nudo de sección circular. En la figura central observamos el nudo que está compuesto en su sección transversal por cuadriláteros por los que pasan cuatro cintas. Al seguir una cualquiera de ellas podemos comprobar que recorremos el nudo cuatro veces volviendo siempre al punto original de partida. En realidad el nudo es una sola cinta, como pasa con la cinta de Moëbius.

En la xilografía de 1963 titulada “Cinta de Moëbius dos”, podemos observar cómo las hormigas se desplazan por un camino que es siempre el mismo, ya que esta superficie matemática topológica tiene la característica de tener una sola cara y un solo borde, esto quiere decir que cualquiera de las hormigas va a llegar siempre al mismo punto de partida.
El artista tuvo mucho interés en numerosas ocasiones en representar cuestiones geométricas complejas como la interrelación entre poliedros regulares, la transformación de elementos geométricos, el dibujo de formas  planas como espirales y elipses y las formas de transformación topológicas como es este caso.
 
“Espirales” es una obra del año 1953. La obra es un grabado en dos colores en madera, una espiral ajustada a un toro cuya sección transversal se va reduciendo. Es como un cinta ajustada a un toro que se va haciendo cada vez más estrecho. En realidad aparecen cuatro cintas que se van transformando en cintas cada vez más delgadas en torno al toro.

 
En la  litografía podemos observar una banda de Moëbius  que ha sido seccionada de forma longitudinal, por lo que se obtiene una nueva cinta con dos rizos en vez de lo que la lógica o intuición nos puede hacer creer, a saber, que saldrían dos cintas con un solo rizo en vez de una cinta con dos rizos.

Un helicoide es una curva que resulta de componer un giro más una traslación, cuando rodeamos con una cinta un objeto estamos aplicando esta misma operación, por lo que tenemos una cinta que está envolviendo o girando a una persona que al mismo tiempo se está desplazando hasta definir su anatomía. Obsérvese además el fenómeno perspectivo del gradiente de las nubes, el solapamiento de las más lejanas, y como estamos en un punto de vista inferior a esos elementos, observamos que las nubes se acercan hacia el horizonte. Las nubes más cercanas tienen una apariencia oscura al igual que la cinta que representa al hombre.

En 1954 construye esta figura, un “Planetoide tetraédrico”, en el que se pueden ver construcciones arquitectónicas sobre dos de las caras del mismo. La figura está formada estructuralmente por dos tetraedros regulares de forma que determinan un poliedro compuesto. El punto medio de cada arista de cada poliedro coincide con el punto medio de la arista del otro. El poliedro regular llamado tetraedro regular tiene una curiosa propiedad y es que es una figura autodual o correlativa de sí misma, esto quiere decir que tiene el mismo número de caras que de vértices y también que si cogemos el punto medio de cada cara de la figura y lo unimos mediante líneas entre sí obtenemos otra vez la misma figura, otro tetraedro regular, de lo cual se desprende esta propiedad que ha aplicado al grabado para generar esta figura compuesta.



El planetoide tetrédrico es como la figura anterior, con la salvedad de que utiliza sólo un tetraedro regular.

En esta perspectiva observamos algo usual en los grabados del artista, el estudio de las reflexiones sobre los objetos metálicos y de las reflexiones y refracciones sobre los objetos de cristal. En el centro aparece un pequeño dodecaedro estrellado en el interior de una esfera que la atraviesa dejando ver trozos de pirámides.

“Gravitación” es una litografía de 1952, en el que se representa el poliedro de Kepler llamado pequeño dodecaedro regular estrellado, poliedro que se puede obtener al prolongar las aristas del dodecaedro hasta que se corten en un vértice. También se puede obtener la figura sumando pirámides de base pentagonal a cada una de las caras del dodecaedro regular base. Dentro del poliedro estrellado aparece en cada pirámide un monstruo de cuatro patas con una cabeza y un cuello largo. El color facilita que el grabado sea inteligible, ya que las patas que salen de cada uno de los huecos de las caras piramidales se apoyan en otras caras adyacentes, lo cual hace la figura mucho más compleja.

En la figura podemos observar las xilografía denominada “Estrellas” del año 1942, en ella se pueden observar diferentes poliedros compuestos, así como poliedros regulares, pirámides, etc. En el borde superior izquierdo observamos un octaedro centrado en un cubo, a su derecha un icosaedro rodeados ambos por pirámides, cubos, deltoedros, etc. En el borde superior derecho observamos dos tetraedros regulares centrados, ordenados en una simetría central. En la figura del centro se muestran tres octaedros regulares con dos camaleones en su interior que se interceptan entre sí.

 
Podemos observar un grabado en el que se aprecian varias circunferencias mayores de esferas centralmente homotéticas (esferas cuyo centro es coincidente  y de distinto tamaño). El conjunto de meridianos de la esfera definen triángulos esféricos de espacios de curvatura positiva. Un en el interior de las esferas aparece en el centro una zona iluminada lo cual les da mayor interés a la composición perspectiva.

Casi todos los paisajes rondan el año 1930, y casi siempre son litografías, medias tintas, a veces grabados en madera; son motivos que por regla general suscitaron mucho menor interés en el público que las perspectivas de geometrías complejas o de formas imposibles, metamorfosis y cuestiones enigmáticas de la ciencia. No obstante hay algo común con los trabajos científicos sobre figuras geométricas, y es su carácter misterioso, su punto de vista imaginativo, su creatividad a la hora de representar elementos paisajísticos inventados, como el caso de la figura, una montaña con unas arquitecturas que yacen levitando sobre el agua del mar en el que se reflejan y al fondo una atmósfera brumosa que disipa el paisaje.


Es un grabado hecho en madera en el año 1925. En él se representa a su mujer. La contradicción como siempre está presente en esta obra, por un lado la representación tridimensional de la figura que se conjuga y contrasta con las líneas que generan en su sombreado una superficie plana. Formas perfectamente lineales que no siguen la curvatura de los ropajes, tonos planos que contradicen el efecto volumétrico que requeriría la representación espacial.

Enigmático, misterioso, una gradación en perspectiva de olas que se rompen y se superponen hasta el infinito, hasta la línea del horizonte en la que se desvanecen.

 
“Autorretrato sentado” es un grabado en madera en el que Escher se muestra delante de un espejo. Es una perspectiva inusual en la que muestra a la figura con un alto contraste, no hay medias tintas, o es blanco o es  negro.

“Autorretrato” es un grabado en madera hecho en 1923. Como siempre predominio de la textura y de las líneas sobre otros elementos, estudio del detalle en profundidad así como de la expresión de la figura.

 
Este grabado en madera de 1935, representa un buque de carga del Mediterráneo, es un dibujo realizado cuando visitó Malta. Las perspectivas aéreas (borrosas en lejanía) son muy equilibradas y tienen un ritmo coherente y ordenado.

“Naturaleza muerta con calle” es un grabado en madera ejecutado en 1937.
En esta representación de una calle cerca de Génova, cohesiona en una perspectiva dos realidades totalmente distintas. Los elementos de la repisa en la imagen se fusionan con la calle donde aparecen libros que se entremezclan con las arquitecturas.

Cuando el artista se tuvo que trasladar al norte de Europa se encontró con paisajes nevados teñidos de blanco que ahogaron su inspiración, y que apenas generaron obras.

 
En este grabado tenemos un ejemplo de los motivos cotidianos de las callejuelas de Italia, elementos que inspiraban notablemente al artista.

Este grabado es un ejemplo de perspectiva de cuadro inclinado con extrema aceleración o distorsión (con un punto de vista muy cercano), esto quiere decir que hay un gran contraste entre los elementos que representa, la parte superior muestra unos elementos muy cercanos que contrastan con la parte inferior.


Aproximaciones al infinito


“Límite circular uno” es un grabado en madera de 1958, es más rudimentario que otros posteriores sin embargo se puede distinguir la estructura y ordenación de los elementos. Hay una serie de peces que siguen líneas rectas, cosa que no sucederá en otros  trabajos circulares posteriores

En esta obra llamada “límite circular tres” tenemos un grabado en madera del año 1959, en la que se pueden observar a peces que nadan en fila uno detrás de otro, con la cabeza de uno y la cola del otro en su parte delantera. En cada conjunto de tres peces cuyos extremos coinciden en un punto confluyen también las colas de otros tres y para que se pueda adaptar esta estructura a la forma circular las líneas que siguen los peces son líneas curvas, de esta manera el borde del círculo según se acerca a la circunferencia el tamaño de los peces se va reduciendo convirtiendo la superficie plana en un espacio hiperbólico de curvatura negativa.

“Límite circular cuarto” es un grabado en madera construido en el año 1960. Escher tiene numerosos grabados sobre ángeles y demonios pero éste es especialmente interesante por su configuración de  límite circular. Observamos en el centro del grabado tres ejes coincidentes con los pies de los ángeles. Más tarde se utilizaría este grabado para hacer esferas tridimensionales con ángeles y diablos en madera de arce.


“Peces y escamas”, es un grabado en madera del año 1959. Se puede observar en la izquierda del grabado la cabeza de un pez grande cuyas escamas del torso se van transformando desde arriba hacia abajo en filas de peces pequeños blancos y negros que nadan en direcciones opuestas y que se incrementan en su escala al cambiar la dirección en el lado. El mismo efecto se produce con el pez de la derecha y la mitad superior del grabado, se puede obtener  la transformación mediante el giro del esquema anterior 180°. Observamos también la metamorfosis de las escamas en peces, en esta obra podemos vislumbrar la estructura análoga a la obra titulada “galería de grabados”. Es una metamorfosis en la que se juega con varias transformaciones geométricas, transformaciones de las figuras, giros de las mismas, elementos que son escamas y peces al mismo tiempo, sin diferenciarse claramente en qué momento se transforman unos  en otros.

Ésta obra se denomina “remolino” y es un grabado en madera de 1957. Para construirlo utiliza espirales, las dos espirales mayores siguen la misma dirección y están en el dibujo  en la parte superior e inferior, éstas definen la fila de peces que nadan en sentidos opuestos.

 
“Límite cuadrado” es un grabado en madera de 1964, fue hecho después de todas las series de límites circulares. Su estructura responde a una reducción lineal de dentro hacia fuera, generando una composición cerrada de cuadrados que se disponen en una homotecia central.



Ciclos

 
“El espejo mágico” es una litografía del año 1946, en la figura observamos un conjunto de imágenes reflejadas que adquieren vida. En un extremo inferior izquierdo del espejo, empiezan a surgir unos perros alados que giran hacia la derecha junto con sus imágenes sobre el espejo, éstas coinciden o bien adquieren vida por detrás del espejo haciendo un círculo simétrico del que nacen los perros blancos, ambos antes de volver al espejo se convierten en figuras planas.

”Reptiles” es una litografía del año 1943, en ella se muestra cómo se transforma un mundo bidimensional en otro tridimensional. Los cocodrilos dibujados mediante teselas o módulos y encajados geométricamente en un boceto de forma plana se convierten en tridimensionales y abandonan la hoja de papel. Tras trazar una elipse en su trayectoria pasando por un libro, un dodecaedro y un vaso vuelven al papel. Las figuras planas están encajadas perfectamente de manera que son coincidentes las tres cabezas de los cocodrilos en ángulos iguales de 120°. Esto quiere decir que una figura se puede transformar en otra por un giro de 120°.

En esta obra del ciclo de litografías de 1938, se observa como un conjunto de personas bajan las escaleras para convertirse al final en formas geométricas que se transforman también en el paisaje arquitectónico. Observamos en la complejidad de este dibujo cómo las formas complejas geométricas se acaban transformando en un rombo.


 
En este grabado en madera de 1939, titulado “El día y la noche”, hace una partición periódica de la superficie respecto a un eje de simetría central en el que el dibujo de las aves negras y blancas pueden hacerse coincidir mediante una traslación en cada partición. Observamos que las aves se fusionan con el paisaje de las parcelas del terreno y dividen el grabado en dos imágenes correspondientes al día y la noche. Es una de las obras más populares del autor.




Figuras imposibles

En la figura observamos un “Cubo con cintas mágicas” de una litografía de 1957. Por un lado las cintas llevan varios elementos que no se distinguen claramente si son con cóncavos o convexos, según la orientación que se le dé a la litografía. Otra cuestión apreciable es que las dos elipses que se cortan según un ángulo recto  generan unas cintas por un lado la elipse que están hacia adelante pero de repente se transforman en unas elipses que viene de atrás hacia adelante. Por un efecto curioso de la luz, los adornos de las cintas pueden concebirse como semiesferas en relieve con huecos en el centro o como cavidades con casquetes semiesféricos en su interior. Es un fenómeno de inversión análogo al que se contempla en los cráteres de la luna según donde esté el sol, o en los huecos de hendiduras de los coches, o hasta en caretas en cuya luz procede de abajo o de arriba generando un efecto cóncavo convexo según el punto de vista por la zona de luz que ilumine el objeto.

 
“Cóncavo y convexo” es una litografía del año 1955, es una perspectiva llena de elementos contradictorios, si consideramos tres líneas verticales, las que pasan por los extremos y el centro de las escaleras que están en el centro del dibujo, tenemos en la litografía a la izquierda un espacio convexo mientras que la derecha un espacio cóncavo. Podemos observar que en la derecha del dibujo se observa la perspectiva desde abajo mientras que la parte izquierda se observa desde arriba.

”Escaleras arriba y escaleras abajo” es una litografía del año 1960, una escalera en la que se puede subir y bajar sin que haya variación en la altura de la misma, si seguimos a los monjes que suben la escalera pensamos que realmente están ascendiendo pero si nos fijamos en los que están bajando las escaleras creemos que realmente están bajando sin parar, no obstante todos vuelven al mismo lugar del origen, todo ello es un efecto de la perspectiva en la cual el cuadrilátero plano en la que se inscriben los peldaños en un el suelo puede tener ligera pendiente hacia abajo con lo que se compensa la ascensión que deberían generar las escaleras, de esta manera todas las escaleras están en un mismo plano aunque den la impresión de que se pueda subir o bajar por ellas.


“Belvedere” es una litografía de 1958, en ella se puede observar a un individuo sentado en primer plano con una figura imposible sus manos, como la que diseñó Penrose en 1952. (El matemático diseñó una figura triangular tridimensional que no corresponde a una figura imposible).
En la litografía observamos también el mismo efecto para la arquitectura, cosas que están delante se enlazan con cosas que están detrás por lo que resultan imposibles, como pasa con las columnas del primer plano, se enlazan con los arcos que no están sobre su vertical, esto sería posible según esta perspectiva sólo si las columnas tuvieron forma de S y desde nuestro punto de vista fueran perfectamente verticales pero desde un perfil se percibieran con una curvatura en dos direcciones distintas.


Perspectivas:




En la figura podemos observar una litografía del año 1952 titulada “Partición cúbica del espacio”. En esta imagen se representa lo que se llama una perspectiva de cuadro inclinado en la que el plano de proyección o del cuadro es oblicuo respecto a los tres ejes principales. Para generar el efecto de espacio, hace que los elementos que aparecen más alejados se representen en un tono más neutro con tonos más grises, como si fueran sus imágenes disipadas por una especie de niebla o atmósfera que hace que se conviertan en evanescentes. 

 
En esta litografía de 1934, titulada “Naturaleza muerta con espejo”, muestra un motivo curioso, interrelaciona el espacio de un tocador con el exterior que muestra un espejo. De esta forma elementos que aparecen en el interior como el cepillo y el vaso pasan a estar según esta perspectiva en el exterior de la habitación ya que sobre el espejo se perciben como si estuvieran en la calle, que es el otro espacio que muestra el espejo.



Representación pictórica


“El dragón”, grabado en madera de 1952. En el dibujo del dragón alado apoyado en cristales de cuarzo no se percibe directamente la característica que encierra, por un lado atraviesa con la cabeza una de sus alas y hace lo mismo con su cola atravesando esta vez el dos el  abdomen. Si podemos observar con más detenimiento apreciaremos que es una figura plana, como un recortable de un dragón en dos dimensiones. Es lo opuesto a lo que solemos ver, en tres dimensiones representado sobre un plano de dos dimensiones. Lo curioso del dibujo es que encierra una contradicción, que siendo una forma plana y penetrándose asimismo dos veces no obstante la cola es mordida por el dragón, algo que debería suceder sólo en tres dimensiones. Ocurre un caso parecido con la famosa botella de Klein, si construimos dos bandas de Moëbius y las unimos obtendremos la versión tridimensional de esta cinta que tiene una sola superficie, en el caso de la botella el interior y el exterior son coincidentes por lo que hace falta un espacio superior de cuatro dimensiones para pasar del uno al otro.


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N. M. G.